Nach positiver Absolvierung der Lehrveranstaltung sind Studierende in der Lage:

• Definition und Eigenschaften der mehrdimensionalen Normalverteilung und verwandter Verteilungen zu erläutern und zu benutzen,
• Definition und elementare Eigenschaften der Brown'schen Bewegung aufzulisten und den Existenzbeweis und die Hölderstetigkeit mittels des Stetigkeitskriteriums von Kolmogorov-Chentsov zu skizzieren,
• Filtrierungen, Stoppzeiten, progressive Messbarkeit und Pfadeigenschaften von Prozessen zueinander in Beziehung zu setzen,
• Martingale, Sub- und Supermartingale, gleichmäßige Integrierbarkeit und den  Konvergenzsatz von Vitali zu erläutern,
• die klassischen Doob'schen Resultate (Maximum-Ungleichungen, L^p-Ungleichung, Stoppsatz) anzuwenden und deren Beweise zu skizzieren,
• lokale Martingale zu betrachten und Beispiele für strikte lokale Martingale zu geben,
• vorhersehbarer Treppenprozesse zu integrieren, den quadratischen Variations- und den Kovariationsprozess für stetige lokale Martingale einführen und für einige Beispiele zu berechnen,
• die Existenz und einfache Eigenschaften des stochastischen Integrals für stetige lokale Martingale mittels der Kunita-Watanabe-Ungleichung herleiten und die Verallgemeinerung auf stetige Semimartingale erklären,
• Kettenregel, partielle Integration und Konvergenzsätze für stochastische Integrale (bezüglich stetiger Semimartingale) zu erklären und anzuwenden,
• die mehrdimensional Ito-Formel, Tanaka-Formel, lokale Ito-Formel und Ito-Formel für holomorphe Funktionen zu formulieren, zu verwenden und ausgewählte Anwendungen zu präsentieren.

Definition und Eigenschaften der mehrdimensionalen Normalverteilung, Definition und elementare Eigenschaften der Brown'schen Bewegung, Existenzbeweis und Hölderstetigkeit mittels Stetigkeitskriterium von Kolmogorov-Chentsov, Filtrierungen, Stoppzeiten, progressive Messbarkeit, Pfadeigenschaften, Martingale, gleichmäßige Integrierbarkeit, Konvergenzsatz von Vitali, Sub- und Supermartingale, Maximum-Ungleichungen, Doob'sche Ungleichung für p-integrierbare Submartingale, Doob'scher Stoppsatz mit Anwendungen, lokale Martingale und Beispiele, Integration vorhersehbarer Treppenprozesse, p-Variation von Funktionen, quadratische Variation und Kovariationsprozess für stetige lokale Martingale, Kunita-Watanabe-Ungleichung, stochastische Integration für stetige lokale Martingale und Verallgemeinerung auf stetige Semimartingale, Kettenregel und Konvergenzsätze für stochastische Integrale (bezüglich stetiger Semimartingale), partielle Integration, mehrdimensional Ito-Formel mit Anwendungen, Tanaka-Formel, lokale Ito-Formel und Ito-Formel für holomorphe Funktionen,

Präsentation und Herleitung der Resultate durch den Vortragenden an der Tafel, Selbststudium des Skriptums. Aktive Teilnahme an den begleitenden Übungen wird dringend empfohlen; zahlreiche Übungsaufgaben sind im Skriptum enthalten.

Mündliche Prüfung

Für angemeldete Studierende ist ein englischsprachiges Skriptum mit zahlreichen Referenzen elektronisch verfügbar, das fortlaufend aktualisiert wird. Es enthält Aufträge für das Selbststudium.

Ergänzende Literatur:

Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. 3. Edition, Springer-Verlag, 2021, ISBN 978-3-030-61871-1.
Daniel Revuz und Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian Motion, 3. Edition, Springer-Verlag, 1999, ISBN 3-540-64325-7.
Ioannis Karatzas und Steven E. Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus. 2. Edition, Springer-Verlag, ISBN 0-38797-655-8.
Bernt Øksendal: Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. 6. Edition, Springer-Verlag, 2007, ISBN 978-3-54004-758-2.

Grundlagen:
David Williams: Probability with Martingales. Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6.
Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. Edition, De Gruyter, 1992, ISBN 3-11013-626-0.
Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 5. Edition, De Gruyter, 2002, ISBN 3-11017-236-4.