Definition und Eigenschaften der mehrdimensionalen Normalverteilung, Definition und elementare Eigenschaften der Brown'schen Bewegung, Existenzbeweis und Hölderstetigkeit mittels Stetigkeitskriterium von Kolmogorov-Chentsov, Filtrierungen, Stoppzeiten, progressive Messbarkeit, Pfadeigenschaften, Martingale, gleichmäßige Integrierbarkeit, Konvergenzsatz von Vitali, Sub- und Supermartingale, Maximum-Ungleichungen, Doob'sche Ungleichung für p-integrierbare Submartingale, Doob'scher Stoppsatz mit Anwendungen, lokale Martingale und Beispiele, Integration vorhersehbarer Treppenprozesse, p-Variation von Funktionen, quadratische Variation und Kovariationsprozess für stetige lokale Martingale, Kunita-Watanabe-Ungleichung, stochastische Integration für stetige lokale Martingale und Verallgemeinerung auf stetige Semimartingale
Präsentation und Herleitung der Resultate durch den Vortragenden an der Tafel, Selbststudium des Skriptums. Aktive Teilnahme an den begleitenden Übungen wird dringend empfohlen; zahlreiche Übungsaufgaben sind im Skriptum enthalten.
Für angemeldete Studierende ist ein englischsprachiges Skriptum mit zahlreichen Referenzen elektronisch verfügbar, das fortlaufend aktualisiert wird. Es enthält Aufträge für das Selbststudium.
Ergänzende Literatur:
Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. 3. Edition, Springer-Verlag, 2021, ISBN 978-3-030-61871-1.
Daniel Revuz und Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian Motion, 3. Edition, Springer-Verlag, 1999, ISBN 3-540-64325-7.
Ioannis Karatzas und Steven E. Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus. 2. Edition, Springer-Verlag, ISBN 0-38797-655-8.
Bernt Øksendal: Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. 6. Edition, Springer-Verlag, 2007, ISBN 978-3-54004-758-2.
Grundlagen:
David Williams: Probability with Martingales. Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6.
Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. Edition, De Gruyter, 1992, ISBN 3-11013-626-0.
Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 5. Edition, De Gruyter, 2002, ISBN 3-11017-236-4.