Nach positiver Absolvierung der Lehrveranstaltung sind Studierende in der Lage ...

• das stochastische Exponential und den stochastischen Logarithmus einzuführen und grundlegende Eigenschaften und Charakterisierungen zu erläutern, 
• die Lévy-Charakterisierung der Brown'schen Bewegung zu benutzen, 
• den Satz von Girsanov zu formulieren, anzuwenden und damit Brown'sche Bewegung mit Drift bei Maßwechsel zu diskutieren, 
• die Doob'sche Ungleichung für Aufwärtsüberschreitungen zu erläutern und daraus die Doob'schen Konvergenzsätze für Submartingale zu folgern,
• den Darstellungssatz für Brown'sche lokale Martingale zu erläutern und anzuwenden, 
• die Kazamaki- und Novikov-Bedingung zu überprüfen und Aussagen daraus abzuleiten,
• die Lösungsbegriffe für stochastischen Differentialgleichung zu erklären und die grundlegenden Effekte durch Beispiel zu belegen,
• die Lösung im linearen Fall herzuleiten und die Eindeutigkeit zu diskutieren,
• den Ornstein-Uhlenbeck-Prozess zu definieren und seine Grundeigenschaften herzuleiten,
• die erweiterte Grönwall-Ungleichung anzuwenden und die Notwendigkeit einiger Voraussetzungen durch entsprechende Gegenbeispiele zu illustrieren,
• Existenz und Eindeutigkeit von starken Lösungen von stochastischen Differentialgleichungen unter Lipschitz- und Beschränktheitsbedingungen zu untersuchen und die Momente der Lösungen abzuschätzen,
• und die Ideen und Methoden, die zum Beweisen der zentralen Theoreme verwendet werden, zu beschreiben und teilweise anzuwenden.

Stochastisches Exponential für stetige Semimartingale, stochastischer Logarithmus, Lévy-Charakterisierung der Brown'schen Bewegung, Satz von Girsanov, Veränderung der Drift mit dem Satz von Girsanov, Doob'sche Ungleichung für Aufwärtsüberschreitungen, Doob'sche Konvergenzsätze für Submartingale, Darstellungssatz für Brown'sche lokale Martingale, Kazamaki- und Novikov-Bedingung, stochastische Differentialgleichungen (Beispiele, Terminologie, Lösung im linearen Fall), Ornstein-Uhlenbeck-Prozess, erweiterte Grönwall-Ungleichung, Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen unter Lipschitz- und Beschränktheitsbedingungen, Momentenabschätzungen. 

Die grundlegenden Inhalte und Konzepte werden von dem Leiter der LVA präsentiert und mit Hilfe von Beispielen illustriert, diskutiert, vertieft und erweitert.

Die Leistung wird durch eine mündliche Prüfung am Ende des Semesters beurteilt.

Für angemeldete Studierende (zu Teil 1 der VO) ist ein englischsprachiges Skriptum mit zahlreichen Referenzen elektronisch verfügbar, das fortlaufend aktualisiert wird.

Ergänzende Literatur:

Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. 2. Edition, Springer-Verlag, 2002, ISBN 0-387-953113-2.
Daniel Revuz und Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian Motion, 3. Edition, Springer-Verlag, 1999, ISBN 3-540-64325-7.
Ioannis Karatzas und Steven E. Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus. 2. Edition, Springer-Verlag, ISBN 0-38797-655-8.
Bernt Øksendal: Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. 6. Edition, Springer-Verlag, 2007, ISBN 978-3-54004-758-2.

Grundlagen:
David Williams: Probability with Martingales. Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6.
Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. Edition, De Gruyter, 1992, ISBN 3-11013-626-0.
Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 5. Edition, De Gruyter, 2002, ISBN 3-11017-236-4.