Ein MATLAB Paket zur Analyse von Optimalen Kontroll Problemen

01.11.2010 - 28.02.2014
Forschungsförderungsprojekt
In ökonomischen und Management Problem spielen optimale Kontrollprobleme über einen unendlichen Zeithorizont eine wichtige Rolle. Die Anwendung des Pontryagin'schen Maximumprinzips führt in diesem Fall zu einem Randwertproblem auf einem unendlichen Zeitintervall, sodass zur numerischen Lösung die Transversalitätsbedingung typischerweise durch eine asymptotische Transversalitätsbedingung ersetzt werden muss, oder es erfolgt eine Transformation des Zeitintervalls, wodurch das Randwertproblem singulär wird. In diesem Projekt entwickeln wir ein Matlab Paket, das die Lösung solcher Randwertaufgaben ermöglicht. Wir implementieren dazu unter Matlab einen Randwertlöser mit integriertem Fortsetzungsalgorithmus. Dieses Softwarepaket erlaubt die Berechnung der (in)stabilen Pfade sowie Zentrumspfade von Gleichgewichten und Limeszyklen. In weiterer Folge können damit auch globale Bifurkationen gefunden und fortgesetzt werden. Weiters wird die objektorientierte Programmierumgebung von Matlab ausgenützt um ein Objekt zu generieren, das einem optimalen Kontrollmodel für spezifische Parameterwerte entspricht. Die notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung werden mittels symbolischer toolbox berechnet, sowie alle zur Analyse notwendigen Matlab Dateien automatisch generiert. Die für jedes Modell berechneten Resultate können leicht im Objekt selbst gespeichert und abgelegt werden. Darüber hinaus erlauben ¿plot¿ Funktionen eine leichte graphische Wiedergabe der berechneten Pfade und Lösungen. Heterokline Bifurkationen des kanonischen Systems haben ihre Entsprechung im Auftauchen von sogenannten DNSS oder Skiba Punkten des optimalen Systems. Das sind Punkte im Zustandsraum für welche vielfache optimale Lösungen existieren. Während also das Auftreten vielfacher Lösungen im kanonischen System oftmals in Verbindung mit einer heteroklinen Bifurkation des kanonischen Systems steht, führt dies im optimalen Vektorfeld zu ¿optimalen¿ Bifurkationen, beispielsweise zu einer ¿Indifference-Attractor-Bifurkation¿, wie sie Florian Wagener beschreibt. Damit eignet sich unser Softwarepaket gut zur numerischen Bifurkationsanalyse des optimalen Vektorfeldes. Für Modell mit zwei und mehr Zuständen können DNSS Kurven, bzw. DNSS Flächen existieren, die ebenfalls mittels Fortsetzungsalgorithmus aus einem DNSS Punkt berechnet werden können. Für die effiziente Berechnung der Lösungspfade ist die Verwendung eines Randwertlösers, der gut an die speziellen Anforderungen aus den optimalen Kontrollproblemen angepasst ist, Voraussetzung. Dazu gehört neben dem möglichen Auftreten von Singularitäten auch die Behandlung von algebraischen Differentialgleichungen, sowie die Implementierung eines Fortsetzungsalgorithmus. Um diesen Anforderungen gerecht zu werden wird in enger Zusammenarbeit mit der Forschungsgruppe von Ewa Weinmüller der von ihnen entwickelte Randwertlöser spezielle auf unsere Anforderungen weiterentwickelt und angepasst.

Personen

Projektleiter_in

Institut

Förderungmittel

  • FWF - Österr. Wissenschaftsfonds (National) Fonds zur Förderung der wissenschaftlichen Forschung (FWF)

Forschungsschwerpunkte

  • Modeling and Simulation: 100%

Schlagwörter

DeutschEnglisch
optimale KontrolltheorieOptimal Control Theory
mehrfache optimale LösungenMultiple Optimal Solutions
BifurkationstheorieBifurcation Theory
Randwertproblem auf unendlichem ZeithorizontInfinite Time BVP

Publikationen