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Ein MATLAB Paket zur Analyse von Optimalen Kontroll Problemen
01.11.2010 - 28.02.2014
Forschungsförderungsprojekt
In ökonomischen und Management Problem spielen optimale Kontrollprobleme über einen unendlichen Zeithorizont eine wichtige Rolle. Die Anwendung des Pontryagin'schen Maximumprinzips führt in diesem Fall zu einem Randwertproblem auf einem unendlichen Zeitintervall, sodass zur numerischen Lösung die Transversalitätsbedingung typischerweise durch eine asymptotische Transversalitätsbedingung ersetzt werden muss, oder es erfolgt eine Transformation des Zeitintervalls, wodurch das Randwertproblem singulär wird. In diesem Projekt entwickeln wir ein Matlab Paket, das die Lösung solcher Randwertaufgaben ermöglicht. Wir implementieren dazu unter Matlab einen Randwertlöser mit integriertem Fortsetzungsalgorithmus. Dieses Softwarepaket erlaubt die Berechnung der (in)stabilen Pfade sowie Zentrumspfade von Gleichgewichten und Limeszyklen. In weiterer Folge können damit auch globale Bifurkationen gefunden und fortgesetzt werden. Weiters wird die objektorientierte Programmierumgebung von Matlab ausgenützt um ein Objekt zu generieren, das einem optimalen Kontrollmodel für spezifische Parameterwerte entspricht. Die notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung werden mittels symbolischer toolbox berechnet, sowie alle zur Analyse notwendigen Matlab Dateien automatisch generiert. Die für jedes Modell berechneten Resultate können leicht im Objekt selbst gespeichert und abgelegt werden. Darüber hinaus erlauben ¿plot¿ Funktionen eine leichte graphische Wiedergabe der berechneten Pfade und Lösungen. Heterokline Bifurkationen des kanonischen Systems haben ihre Entsprechung im Auftauchen von sogenannten DNSS oder Skiba Punkten des optimalen Systems. Das sind Punkte im Zustandsraum für welche vielfache optimale Lösungen existieren. Während also das Auftreten vielfacher Lösungen im kanonischen System oftmals in Verbindung mit einer heteroklinen Bifurkation des kanonischen Systems steht, führt dies im optimalen Vektorfeld zu ¿optimalen¿ Bifurkationen, beispielsweise zu einer ¿Indifference-Attractor-Bifurkation¿, wie sie Florian Wagener beschreibt. Damit eignet sich unser Softwarepaket gut zur numerischen Bifurkationsanalyse des optimalen Vektorfeldes. Für Modell mit zwei und mehr Zuständen können DNSS Kurven, bzw. DNSS Flächen existieren, die ebenfalls mittels Fortsetzungsalgorithmus aus einem DNSS Punkt berechnet werden können. Für die effiziente Berechnung der Lösungspfade ist die Verwendung eines Randwertlösers, der gut an die speziellen Anforderungen aus den optimalen Kontrollproblemen angepasst ist, Voraussetzung. Dazu gehört neben dem möglichen Auftreten von Singularitäten auch die Behandlung von algebraischen Differentialgleichungen, sowie die Implementierung eines Fortsetzungsalgorithmus. Um diesen Anforderungen gerecht zu werden wird in enger Zusammenarbeit mit der Forschungsgruppe von Ewa Weinmüller der von ihnen entwickelte Randwertlöser spezielle auf unsere Anforderungen weiterentwickelt und angepasst.
Personen
Projektleiter_in
Dieter Grass
(E105)
Institut
E105 - Institut für Stochastik und Wirtschaftsmathematik
Förderungmittel
FWF - Österr. Wissenschaftsfonds (National)
Fonds zur Förderung der wissenschaftlichen Forschung (FWF)
Forschungsschwerpunkte
Modeling and Simulation: 100%
Schlagwörter
Deutsch
Englisch
optimale Kontrolltheorie
Optimal Control Theory
mehrfache optimale Lösungen
Multiple Optimal Solutions
Bifurkationstheorie
Bifurcation Theory
Randwertproblem auf unendlichem Zeithorizont
Infinite Time BVP
Publikationen
Publikationsliste