Topologie von fraktalen Pflastern

01.09.2010 - 30.09.2013
Forschungsförderungsprojekt
1975 führte Mandelbrot das Wort Fractal ein und bezeichnete damit Figuren mit selbstähnlicher Struktur. Küstenlinien, Schneeflocken, Wolken, Kristalle, ... all diese Objekte enthalten verkleinerte Kopien ihrer sich selbst und sind Beispiele von natürlichen Fraktalen. Fraktale treten auch in Chaostheorie als Attraktoren dynamischer Systeme auf. Sie haben nun zahlreiche Anwendungen, wie Bildkompression, Computer Grafik, Diffusionsprozesse,... Fraktale Pflaster sind selbstähnliche Muster mit einer Kachelungseigenschaft: durch Zusammenfügen von Kopien des Pflasters kann der ganze Raum ohne Überlappung überdeckt werden. Dies gelingt trotz der fraktalen Gestalt der Pflasterränder. Fraktale Pflaster kommen in vielen Gebieten der Mathematik vor, sowie Zahlentheorie, Theorie der dynamischen Systeme oder diskreter Geometrie. Viele Fragestellungen in diesen Gebieten widerspiegeln sich in topologischen Eigenschaften von fraktalen Pflastern. Deren Untersuchung erfordert Methoden der Fraktalgeometrie, Komplexanalysis und Automatentheorie. In diesem Projekt schlagen wir vor, breite Klassen von ebenen fraktalen Pflastern zu untersuchen: selbstaffine Pflaster, kristallographische selbstähnliche Pflaster und Substitutionpflaster. Selbstaffine Pflaster liefern periodische Kachelungen durch Translationen des Pflasters und sind bereits sehr dokumentiert. Sie lassen sich als Fundamentalbereiche von Zahlensystemen, ihre Ränder als jene Zahlen mit mehrfachen Darstellungen interpretieren. Kristallographische selbstähnliche Pflaster liefern auch periodische Zerlegungen, jedoch werden dabei Drehungen zugelassen. Substitutionspflaster wurden von Rauzy eingeführt, als er die Dynamik von Interval Exchange Transformation auf zweidimensionale Räume erweiterte. Sie werden oft Rauzy Fraktale genannt und ergeben periodische sowie aperiodische Zerlegungen. In all diesen Klassen ermöglicht die Kachelungseigenschaft, topologische Eigenschaften der Pflaster aus der Analyse der Ränder herzuleiten. In unserem Fall wird eine angebrachte Randparametrisierung von Wichtigkeit sein. Sie wurde von dem Antragsteller und einem Kollaboratoren eingeführt und erfolgreich auf zahlreiche Beispiele von selbstaffinen Pflastern ¿ einschliessend kanonischen Ziffernsystemen Pflastern ¿ geprüft. Die Parametrisierung verfolgt den Rand im masstheoretischen Sinne. Wesentlich ist, dass ein endlicher Automat der Parametrisierung zugrunde liegt. Das wird zu tiefgreifenden Informationen über die Topologie des Pflasters führen. Eigentlich werden Automaten bei der Betrachtung von fraktalen Rändern gewöhnlich verwendet. Jedoch entsteht durch diese Automaten eine symbolische Beschreibung des Randes, woraus die topologischen Eigenschaften noch schwer herauszuziehen sind. Diese Rolle wird die Parametrisierung übernehmen. Wir erzielen Folgendes. Wir wollen die Parametrisierung auf all die oben angedeuteten Klassen erweitern, ohne dass die grundsätzlichen Eigenschaften dabei verlorengehen. Schwierigkeiten entstehen wegen der topologischen Vielfalt der entsprechenden Pflaster. Wir wollen dann diese Parametrisierung zur Untersuchung der Topologie ausnutzen. Zu diesem Zweg werden Algorithmen implementiert. Letztendlich wollen wir die Grenzen der Methode erkunden und allgemeinere Klassen von Fraktalen betrachten. Gleichzeitig werden wir neue Klassen von kristallographischen Pflastern durch Einführung von kristallographischen Ziffernsystemen erzeugen. So wollen wir Pflaster mittlerer topologischer Komplexität bekommen, die dann zur Abhandlung der theoretischen Fragen und Implementierung der Algorithme verhelfen werden. Unsere Fortschritte wollen wir an Reihen von Beispielen und Teilklassen ermessen.

Personen

Projektleiter_in

Institut

Förderungmittel

  • FWF - Österr. Wissenschaftsfonds (National) Fonds zur Förderung der wissenschaftlichen Forschung (FWF)

Forschungsschwerpunkte

  • Außerhalb der TUW-Forschungsschwerpunkte: 100%

Schlagwörter

DeutschEnglisch
fraktalfractal
Pflastertile
Ziffernsystemnumber system
Automatenautomata

Externe Partner_innen

  • Montanuniversität Leoben

Publikationen