Optimierung von Dividendenzahlungen

01.06.2010 - 31.12.2013
Forschungsförderungsprojekt
Zwei Hauptziele von Versicherungsunternehmen sind die Dividendenauszahlungen zu maximieren, und, der konservativere Ansatz, die Ruinwahrscheinlichkeit des Unternehmens möglichst gering zu halten. Beide Ansätze können mittlerweile als klassisch betrachtet werden. Der Ruinwahrscheinlichkeitsansatz geht auf F. Lundberg zurück, der zu Beginn des 20. Jahrhunderts seine berühmte Ungleichung formulierte. Diese besagt, dass unter bestimmten Modellvoraussetzungen, die Ruinwahrscheinlichkeit eines Versicherungsunternehmens durch eine exponentiell fallende Funktion nach oben abgeschätzt werden kann, wobei diese Funktion eine Funktion des Anfangsvermögens ist. Der Dividendenansatz geht auf das berühmte paper von B. De Finetti aus dem Jahre 1957 zurück. In dieser Arbeit kritisiert er den Ruinwahrscheinlichkeitsansatz als zu konservativ und schlägt statt dessen vor, die erwarteten abgezinsten Dividendenzahlungen eines Unternehmens zu maximieren. Er zeigt in derselben Arbeit, dass, falls man einen einfachen ¿random walk¿ als Modell für das Vermögen des Unternehmens ansetzt, die Verwendung einer sogenannten Barrierestrategie optimal ist. Dabei wird sämtliches Vermögen, das oberhalb einer bestimmten zeitunabhängigen Schranke liegt, als Dividende ausbezahlt. Es gibt mittlerweile zahlreiche Modifikationen und Verallgemeinerungen für beide Ansätze in der versicherungsmathematischen Fachliteratur. Ziel des Projektes ist es, zu beiden Ansätzen neue Resultate beizutragen. Unsere Forschung soll sich auf die folgenden 3 Hauptpunkte konzentrieren. 1.) Es scheint ein offenes Problem zu sein, welches die optimale Strategie für ein Unternehmen ist, das die erwarteten abgezinsten Dividenden in endlicher Zeit maximieren will. Als Modell für den Vermögensverlauf des Versicherers soll hier die sogenannte Diffusionsapproximation verwendet werden. Für dasselbe Problem mit unendlichem Zeithorizont ist die Lösung wohlbekannt. Es handelt sich, ähnlich wie im klassischen de Finetti Resultat, um eine Barrierestrategie. Wir vermuten, dass die Lösung auch im Fall eines endlichen Zeithorizontes eine Barrierestrategie ist, wobei diesmal aber die Barrierefunktion zeitabhängig ist. Vermutlich wird die Lösung über ein sogenanntes freies Randwertproblem führen. 2.) Ein Möglichkeit zur Modifikation des klassichen de Finettis Ansatzes ist die Verwendung von Nutzenfunktionen. Wir wollen folgendes Problem untersuchen: Maximiere den erwarteten Nutzen von abgezinsten Dividendenauszahlungen. Dabei soll wieder eine Diffusionsapproximation für das Vermögen verwendet werden, wobei der Zeithorizont jetzt aber ein unendlicher ist. Es gibt in der Literatur bereits eine Arbeit des Projektleiters (mit einigen Koautoren) zu diesem Thema. Diese Arbeit ist aber insofern unvollständig, da ein Existenzresultat für die Barrierefunktion fehlt. Ziel ist es nun, diese Lücke zu schließen, wobei ein neues Resultat des Projektleiters über Integralgleichungen verwendet werden soll. 3.) Schließlich wollen wir auch in Richtung Optimierung von Ruinwahrscheinlichkeiten arbeiten. In den letzten Jahren ist die Untersuchung von Ruinwahrscheinlichkeiten von Unternehmen, die in den Aktienmarkt investieren ein sehr aktuelles (und praxisrelevantes) Gebiet. Wir wollen uns dabei auf den sogenannten Großschadenfall konzentrieren, der dann vorliegt, wenn die Verteilungsfunktion der Einzelschäden kein exponentielles Moment besitzt. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit von sehr großen Schäden nicht mehr vernachlässigbar gering ist. Natürlich ist das für Versicherungsunternehmen ein wichtiger Fall. Ziel ist es, Aussagen über die Asymptotik (für sehr hohes Vermögen) der optimalen Investmentstrategie zu machen, falls die Verteilungen der Einzelschadenhöhen in einer Unterklasse der sogenannten subexponentiellen Klasse liegen. Die Klasse der subexponentiellen Verteilungen wird als wichtigste Klasse von Verteilungen mit schweren Enden angesehen.

Personen

Projektleiter_in

Projektmitarbeiter_innen

Institut

Förderungmittel

  • FWF - Österr. Wissenschaftsfonds (National) Einzelprojekt Fonds zur Förderung der wissenschaftlichen Forschung (FWF)

Forschungsschwerpunkte

  • Mathematical Methods in Economics: 10%
  • Mathematical and Algorithmic Foundations: 10%
  • Modeling and Simulation: 80%

Schlagwörter

DeutschEnglisch
Versicherungsmathematikactuarial mathematics
Optimale Dividendenzahlungenoptimal dividend payments
Risikotheorierisk theory
Ruintheorieruin probabilities
Freies Randwertproblemfree boundary value problems

Externe Partner_innen

  • Dr. Stefan Thonhauser, RICAM
  • Prof. Dr. Hans-Jörg Albrecher, HEC Lausanne, Université de Lausanne

Publikationen