Zwischen der Theorie affin-isoperimetrischer Ungleichungen und der Theorie der Bewertungen auf konvexen Körpern – einem wichtigen Teilgebiet der modernen Integralgeometrie – sind in den letzten Jahren enge Verbindungen entstanden. Diese neuen Beziehungen basieren auf dem Umstand, dass viele fundamentale affin-isoperimetrische Ungleichungen Operatoren involvieren, die mit linearen Transformationen verträglich sind, z.B. Projektionen- und Schnittkörper Abbildungen. Wie erst vor kurzem gezeigt wurde, liegt der tiefere Grund für die besondere Rolle dieser Operatoren darin, dass sie die einzigen mit affinen Abbildungen verträglichen Bewertungen sind. Durch diese Charakterisierungen wurden darüber hinaus neue körperwertige Bewertungen entdeckt, welche in Folge zur Verschärfung einer Reihe affin-isoperimetrischer Ungleichungen geführt haben. Diese Ungleichungen wiederum bilden den geometrischen Kern neuer scharfer
affin-analytischer Ungleichungen, wie etwa affiner Sobolev und log-Sobolev Ungleichungen.
Obwohl sich ein großer Teil der Theorie körperwertiger Bewertungen mit Operatoren beschäftigt, die mit volumserhaltenden linearen Abbildungen verträglich sind, wurden in den letzten Jahren große Anstrengungen unternommen, um auch stetige Minkowski Bewertungen die nur mit Bewegungen des Raumes kompatibel sind, zu klassifizieren. Diese Resultate haben wiederum ein neues Licht auf eine Reihe affin-geometrischer Ungleichungen geworfen, da sich gezeigt hat, dass diese Ungleichungen für die größere Klasse von körperwertigen Bewertungen, die mit der Bewegungsgruppe verträglich sind, Gültigkeit besitzen. Die hier bisher erzielten Resultate scheinen aber erst die Spitze eines Eisbergs zu sein. Ein Ziel dieses Projekts ist es die Theorie der Bewertungen systematisch auszunutzen, um das darunterliegende größere Bild aufzudecken und so unser Verständnis vieler fundamentaler affin-isoperimetrischer Ungleichungen neu zu gestalten. Es sollte dabei nicht nur klar werden, dass diese Ungleichungen in einem viel größeren Kontext gelten als bisher angenommen, sondern auch die volle Stärke dieser Ungleichungen im Vergleich zu ihren euklidischen Analoga herausgearbeitet werden. Neue Charakterisierungen von körperwertigen Bewertungen werden dabei eine Schlüsselrolle spielen.
Die Theorie der translationsinvarianten skalarwertigen Bewertungen hat in den letzten Jahren eine Reihe bemerkenswerter Entwicklungen durchgemacht. Insbesondere konnte durch die Einführung neuer algebraischer Strukturen das Verständnis für die Integralgeometrie von Gruppen, die transitiv auf der Sphäre agieren, deutlich verbessert werden. Ein weiteres Ziel dieses Projekts ist die Einführung einer vergleichbaren algebraischen Maschinerie für körperwertige Bewertungen, die ein Hilfsmittel bei der Lösung der wichtigsten offenen Fragen im Bereich affin-isoperimetrischer Ungleichungen darstellen soll. Die neue Idee dabei ist es diese Probleme im richtigen, größeren Kontext von Bewertungen, die mit Bewegungen verträglich sind, zu betrachten und auszunutzen, dass in dieser Klasse von Operatoren mehr algebraische Struktur vorhanden ist.
