Singuläre Kardinalzahlen und Kardinalzahlcharakteristiken
In diesem Projekt werden Kardinalzahlcharakteristiken der verallgemeinerten Baireräume κ^κ für κ eine überabzählbare singuläre Kardinalzahl untersucht. Dieses ist von der Arbeit von Shimon Garti und Saharon Shelah zur Untersuchung von Kardinalzahlcharakteristiken in verallgemeinerten Baireräumen inspiriert. Unter anderem werden wir in diesem Projekt Kardinalzahlen im verallgemeinerten Cichons Diagramm untersuchen und die Auswirkungen der Singularität darauf untersuchen. Dazu werden wir die bereits vorhanden Mittel im Gebiet der singulären Kardinalzahlen und unsere Expertise bei der Untersuchung solcher Generalisierungen einsetzen.
Kardinalzahlcharakteristiken des klassischen Baireraums ω^ω sind Kardinalzahlen, die vor allem die kombinatorische oder topologische Struktur der reellen Zahlen beschreiben. Sie sind normalerweise über Ideale auf den reellen Zahlen oder einer sehr ähnlichen Struktur wie P(ω)/fin definiert und nehmen normalerweise Werte zwischen ℵ_1, der ersten überabzählbaren Kardinalzahl, und c an. In Modellen, in denen die Kontinuumshypothese gilt (2_0^ℵ=ℵ_1), ist ihre Untersuchung also uninteressant. In Modellen von ZFC, in denen die Kontinuumshypothese falsch ist, können sie jedoch verschiedene Werte annehmen und auf verschiedene Weisen miteinander interagieren. In den letzten Jahren hat sich die Forschung vor allem auf Kardinalzahlharakteristiken der verallgemeinerten Baireräume κ^κ (der Raum aller Funktionen von κ nach κ) mit κ eine überabzählbare Kardinalzahl fokussiert. Mittlerweile ist der Fall, wo κ regulär (oder sogar large cardinal) ist, von vielen Forschern (auch der Antragstellerin) umfassend behandelt worden und es sind viele Resultate bekannt, die in ZFC beweisbare Relationen oder mit ZFC konsistente Relationen beschreiben.
Jedoch sind Kardinalzahlcharakteristiken der verallgemeinerten Baireräume κ^κ mit κ singulär noch weniger untersucht, obwohl auch singuläre Kardinalzahlen ein wichtiger Gegenstand der mengentheoretischen Forschung sind. Diese Kardinalzahlen sind durch das entscheidende Konzept der Kofinalität, das durch Julius König erstmalig beschrieben wurde, aufgekommen. Ihre Untersuchung hat viele interessante Probleme aufgeworfen und zum mengentheoretischen Teilgebiet der PCF-Theorie (PCF bedeutet 'possible cofinality') geführt. Besonderes Interesse hat beispielsweise der Untersuchung der möglichen Werte der Kontinuumsfunktion für singuläre Kardinalzahlen gegolten, was wiederum zur singular cardinal hypothesis (Singuläre Kardinalzahlhypothese, SCH) geführt hat.
