Asymptotische Approximationen spielen in der Finanzmathematik eine wichtige Rolle. Der vorliegende Projektantrag beschäftigt sich mit dem asymptotischen Verhalten von Optionspreisen, der impliziten Volatilität und der lokalen Volatilität, falls ein Parameter (typisch: Strike oder Laufzeit) sehr groß oder klein wird. Solche Resultate haben unmittelbare praktische Anwendungen: Schnelle approximative Bewertung (z.B. im Risikomanagement), schnelle Modellkalibrierung mittels guter Approximationsformeln und die Wahl guter Parametrisierungen des volatility smiles. Asymptotik kann auch qualitative Fragen beantworten, etwa: "Wie stark hängen die Enden des smiles vom mean reversion level des Varianzprozesses des Underlyings ab? Oder vom Anfangswert des Varianzprozesses?"
Die Hauptziele des Projekts sind die folgenden.
1) Die lokale Volatilität einer Callpreis-Oberfläche ist der Diffusionskoeffizient eines Prozesses, der die gegebenen Preise wiedergibt. Das Verhalten der lokalen Volatilität für kurze Laufzeiten wurde in der Literatur schon etwas untersucht, nicht aber die "Wings" (große/kleine Werte der Zustandsvariable). Wir haben eine mögliche asymptotische Formel (Preprint mit P. Friz, 2011) und vermuten, dass sie im Wesentlichen Modell-unabhängig ist (so wie Lees Formel (2004) für die Wings der impliziten Volatilität). Dies muss jedoch noch bewiesen werden. Außerdem möchten wir zeigen, dass die lokale Volatilität eines Sprungprozesses explodiert, wenn die Laufzeit gegen null geht. Dies ist intuitiv einleuchtend; quantitative Verfeinerungen würden es erlauben, eine lokale-Volatilitäts-Oberfläche auf Sprünge des Underlyings zu testen.
2) Während es recht viele papers über implied-vol-Asymptotik gibt, gibt es bis jetzt keinerlei Anhaltspunkte, wann welche Entwicklung zu bevorzugen ist. Wir wollen für Entwicklungen bzgl. großem Strike und/oder langer Laufzeit explizite Schranken herleiten, die es erlauben, verschiedene Asymptotiken zu vergleichen. Für manche Skalen kann man auf bekannte effektive Analysen zurückgreifen, für andere (insbesondere große Strikes) müssen eigene Abschätzungen entwickelt werden.
3) Out-of-the-money-Optionen mit kurzer Laufzeit können in Diffusionsmodellen gut mit Large-Deviations-Methoden behandelt werden. Wir möchten diese Resultate (zurückgehend auf Varadhan in den 60er Jahren) mit einem Zentralen Grenzwertsatz vervollständigen. Als Anwendungen ergeben sich neue Approximationen von Binäroptionen und des implied vol slopes.
4) Wir wollen eine gute und streng bewiesene Approximation für arithmetische Asiatische Optionen mit kurzer Laufzeit finden. Geometrische Asiatische Optionen sind gut untersucht, weil sie in vielen Modellen einfacher bewertet werden können als arithmetische, und weil sie als Kontrollvariablen für die Monte-Carlo-Bewertung von arithmetischen Asiatischen Optionen dienen. Allerdings führt letztere, so wie die anderen vorgeschlagenen numerischen Methoden, bei arithmetischen Asiatischen Optionen mit kurzer Laufzeit zu großen numerischen Schwierigkeiten. Deshalb möchten wir die Preise asymptotisch abschätzen, mittels einer (technisch schwierigen) mehr-dimensionalen Sattelpunktanalyse. Es gibt Teilresultate zu diesem Problem, von Dufresne (2004), Barrieu, Rouault & Yor (2004) und dem Antragsteller (2011).
