Nach positiver Absolvierung der Lehrveranstaltung sind Studierende in der Lage ...

• Die Lösungsbegriffe für stochastischen Differentialgleichung zu erklären und die grundlegenden Effekte durch Beispiel zu belegen.
• Die Lösung im linearen Fall herzuleiten und die Eindeutigkeit zu diskutieren.
• Den Ornstein-Uhlenbeck-Prozess zu definieren und seine Grundeigenschaften herzuleiten.
• Die erweiterte Grönwall-Ungleichung anzuwenden und die Notwendigkeit einiger Voraussetzungen durch entsprechende Gegenbeispiele zu illustrieren.
• Existenz und Eindeutigkeit von starken Lösungen von stochastischen Differentialgleichungen unter Lipschitz- und Beschränktheitsbedingungen zu untersuchen und die Momente der Lösungen abzuschätzen.
• Zu erläutern, warum ein gegebenes stetiges lokales Martingale mit bekanntem Kovariationsprozess als stochastisches Integral bzgl. einer Brown'schen Bewegung dargestellt werden kann.
• Den Zusammenhang zwischen schwachen Lösungen einer stochastischen Differentialgleichung und der Lösung des zugehörigen lokalen Martingalproblems zu erläutern.
• Die Prokhorov-Metrik einzuführen, an einfachen Beispielen zu illustieren, und mit der Kopplung von Zufallsgrößen und der schwachen Konvergenz in Verbindung bringen.
• Die Ideen und Methoden, die zum Beweisen der zentralen Resultate verwendet werden, zu beschreiben und teilweise anzuwenden.
• Zu erläutern, worum es bei den ausgewählten Themen geht und was die Hauptresultate sind. 

Stochastische Differentialgleichungen (Beispiele, Terminologie, Lösung im linearen Fall), Ornstein-Uhlenbeck-Prozess, erweiterte Grönwall-Ungleichung, Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen unter Lipschitz- und Beschränktheitsbedingungen, Momentenabschätzungen, Darstellung stetiger lokalen Martingale mit vorgegebenem Kovariationsprozess, lokales Martingalproblem, Prokhorov-Metrik. Von den Studierenden ausgewählte Themen: (1) Erneuerung von Lévy-Prozessen nach Stoppzeiten, (2) Burkholder-Davis-Gundy-Ungleichungen, (3) Zufällig Zeittransformationen und der Satz von Dambis, Dubins und Schwarz, (4) Permutationsinvariante Ereignisse und das Null-Eins-Gesetz von Hewitt und Savage, (5) Doob'scher Rückwärtsmartingalkonvergenzsatz (6) Martingalstruktur und starke Konsistenz von U-Statistiken (7) Gemeinsame Verteilung der Brown'schen Standardbewegung und ihres Supremums, (8) Arkussinus-Gesetz des letzten Zeitpunkts zu der die Brown'sche Standardbewegung ihr Supremum annimmt, (9) Sequentiell relativ-kompakte Mengen und der Satz von Arzelà und Ascoli, (10) (Lokale) Martingale mittels der Vandemonde'schen Determinante

Die grundlegenden Inhalte und Konzepte werden vom Leiter der LVA präsentiert und mit Hilfe von Beispielen illustriert, diskutiert, vertieft und erweitert. Ausgewählte Themen werden von den Teilnehmern auf Grundlage des Skriptums präsentiert.

Die Leistung wird durch eine Prüfung am Ende des Semesters beurteilt.
Siehe: https://fam.tuwien.ac.at/lehre/pr/

Für angemeldete Studierende (zu Teil 1 der VO) ist ein englischsprachiges Skriptum mit zahlreichen Referenzen elektronisch verfügbar, das fortlaufend aktualisiert wird. Empfohlene Literatur ist insbesondere:

• Bernt Øksendal: Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. 6. Edition, Springer-Verlag, 2007, ISBN 978-3-54004-758-2.
• Daniel Revuz and Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian Motion, 3. Edition, Springer-Verlag, 1999, ISBN 3-540-64325-7.
• Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. 2. Edition, Springer-Verlag, 2002, ISBN 0-387-953113-2.

• Ioannis Karatzas und Steven E. Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus. 2. Edition, Springer-Verlag, ISBN 0-38797-655-8.