Dieses Projekt konzentriert sich auf mathematische Logik, insbesondere auf die Mengentheorie, und untersucht die Beziehung zwischen der Forcing-Theorie und der Kombinatorik der reellen Zahlen. Forcing dient dabei als ein zentrales Werkzeug zur Herleitung von Konsistenzresultaten in der Mathematik, das heißt, um zu zeigen, dass bestimmte mathematische Aussagen keine Widersprüche in ZFC einführen – dem standardmäßigen axiomatischen System, in dem die heutige Mathematik üblicherweise formalisiert ist.
Das Projekt ist um drei allgemeine Hauptziele herum strukturiert, die in eine gemeinsame Richtung weisen: die Untersuchung von singulären Kardinalzahlen im Kontext der Kardinalzahl Invarianten des Kontinuums. Das erste allgemeine Ziel befasst sich mit der Identifikation neuer Kardinalzahl Invarianten, die abzählbare Kofinalität besitzen könnten, wie dies etwa bei der Überdeckungszahl des Null-Ideals und der fast-disjunkten Zahl bekannt ist. Im Laufe des Projekts konzentrieren wir uns auf drei spezifische Kardinalzahlen: die Überdeckungszahl des starken Maß-null-Ideals sowie die sogenannten Unabhängigkeits- und Ausweichzahlen.
Das zweite allgemeine Ziel liegt in der Möglichkeit, neue singuläre Werte in Cichońs Diagramm einzufügen. Dazu behandeln wir verschiedene Probleme, die mit der Integration singulärer kardinaler Eigenschaften in Cichońs Diagramm zusammenhängen. Ein Ziel ist es beispielsweise, die linke Seite von Cichońs Diagramm so zu trennen, dass sowohl die Überdeckungszahl des Null-Ideals als auch die Uniformitätszahl des mageren Ideals singulär sind. Darüber hinaus wollen wir Cichońs Maximum erzwingen, wobei die Uniformitätszahl des mageren Ideals singulär ist; ebenso Cichońs Maximum mit einer singulären Überdeckungszahl des Null-Ideals. Während die Haupttechniken des Forcings, die wir einsetzen wollen, sehr leistungsfähige Werkzeuge wie finite-support Iterationsmethoden mit ccc-Forcings, Iterationen mit endlich-additiven Maßen und Iterationen mit Templates umfassen, wird es voraussichtlich notwendig sein, neue Forcing-Techniken zu entwickeln oder bestehende zu verfeinern, um die Ziele zu erreichen. Aus diesem Grund konzentriert sich das dritte allgemeine Ziel des Projekts auf die Entwicklung neuer geeigneter Methoden, um singuläre Kardinalzahl Invarianten zu forcen.
