In einer Welt mit überreichlich vorhandenen Informationen ist das effiziente Verständnis der Bedeutung und Struktur von Daten von höchster Wichtigkeit. Wenn nur wenig über die Herkunft unserer Datenpunkte bekannt ist, ist es oft naheliegend anzunehmen, dass sie zufällig über den Raum möglicher Ergebnisse verteilt sind. Das aktuelle Projekt hat zum Ziel, mehrere strukturelle Eigenschaften von Punktmengen zu untersuchen, die zufällig über einen geometrischen Raum verteilt sind. Es ist in zwei Teile gegliedert.

Der erste Teil des Projekts konzentriert sich auf Optimierungsprobleme im Zusammenhang mit zufälligen Punktmengen und deren statistischen und probabilistischen Eigenschaften. Insbesondere möchten wir Fortschritte bei Fragen wie den folgenden erzielen:

- Wie gleichmäßig ist die Menge der zufälligen Punkte verteilt?

- Existieren große Regionen einer gegebenen Form (zum Beispiel Rechtecke), die die Punktwolke vermeiden?

- Kann man die geometrische Punktmenge effizient algorithmisch erkunden?

- Ist es möglich, die gezogenen Punkte mit einfachen geometrischen Objekten wie Geraden oder Ebenen zu trennen?

Der zweite Teil untersucht die Struktur zufälliger geometrischer Graphen, die klassische Objekte in der probabilistischen Theorie zufälliger Graphen darstellen. Ein zufälliger geometrischer Graph wird auf einer zufälligen Punktmenge definiert, indem zwei Punkte verbunden werden, deren Abstand kleiner als eine vorgegebene positive reelle Zahl ist. Wir beabsichtigen, Aspekte der reichen Struktur zufälliger geometrischer Graphen zu erforschen, darunter die Symmetrien, die sie aufweisen, die Möglichkeit, sie in Kopien kleinerer Graphen zu zerlegen, sowie ihre Robustheit gegenüber adversarialen Modifikationen.