Die Teilnehmer der LVA sollen an ein aktuelles Forschungsgebiet der Numerischen Mathematik herangeführt werden. Die Vorlesung kann durchaus zur Vorbereitung auf eine Bachelor- oder Diplomarbeit dienen, die unter Umständen auch im Rahmen eines laufenden FWF-Forschungsprojektes finanziell abgegolten werden kann.
Klassisch werden in der Finite Element Methode (FEM) stetige stückweise Polynome auf regulären Triangulierungen zur Approximation der Lösung einer vorgegebenen partiellen Differentialgleichung (PDE) verwendet. Insbesondere muss hierbei das Problemgebiet zunächst durch ein Polygon/Polyeder approximiert und anschließend trianguliert werden.
In der Praxis stammt das Gebiet selbst de facto immer aus einem CAD-Programm. Die Idee der sogenannten isogeometrischen Analysis ist es, die gleichen Funktionen zur Approximation der Lösung zu verwenden, die auch zur Darstellung des Gebiets verwendet werden. Dadurch fällt die Approximation und das anschließende Meshing des Gebiets weg. Standardmäßig werden zur Geometriedarstellung in CAD sogenannte Splines genutzt. Diese sind als Tensorprodukte eindimensionaler Splines, welche stückweise Polynome mit gewissen Differenzierbarkeitseigenschaften an den Gitterknoten sind, definiert. Dieser Zugang funktioniert allerdings nur auf Tensorgittern. Um adaptive Verfeinerung zuzulassen und die eventuellen Singularitäten der PDE-Lösung aufzulösen, wurden in den letzten Jahren einige Erweiterungen entwickelt, z.B. hierarchische Splines, T-Splines oder LR-Splines.
Die Vorlesung soll die Teilnehmer an den aktuellen Stand der Forschung heranführen, sodass diese - Interesse vorausgesetzt - an laufenden Forschungsaktivitäten mitwirken können.
