Nach positiver Absolvierung der Lehrveranstaltung sind Studierende in der Lage, die grundlegenden Konzepte und Beweistechniken der Theorie großer Abweichungen zu erklären und deren Implikationen in einer Vielzahl von Anwendungen zu verstehen.

Die Theorie der großen Abweichungen betrifft den schnellen (exponentiellen) Abfall der Wahrscheinlichkeit bestimmter „seltener“ oder „extremer“ Ereignisse. Das typischste Beispiel für solche seltenen Ereignisse tritt auf, wenn der Stichprobenmittelwert einer Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen von seinem Mittelwert abweicht, selbst wenn die Stichprobengröße groß wird.

Im ersten Teil des Kurses analysieren wir die wichtigsten Ergebnisse und Konzepte der Theorie der großer Abweichungen:

• Satz von Cramér
• allgemeine Prinzipien der großer Abweichungen
• Satz von Sanov
• Satz von Gärtner-Ellis

Im zweiten Teil des Kurses werden wir uns mit (einigen) der folgenden Anwendungen der Theorie der großer Abweichungen befassen:

• Statistik: asymptotische Optimalität von Bayes'schen Entscheidungstests
• Informationstheorie: Kompressionsalgorithmen
• Statistische Physik: Ferromagnetisches Verhalten im Curie-Weiss-Modell
• Finanzrisikotheorie: Ruinwahrscheinlichkeit einer Versicherungsgesellschaft

Vorlesungen.

Bei weniger als 4 Teilnehmern wird der Kurs abgesagt und im nächsten Jahr neu ausgeschrieben.

Auf Grund des COVID-Infektionsgeschehens kann es im Abhaltemodus zu Aenderungen kommen.

Mündliche Prüfung

Bücher:

• den Hollander - Large Deviations
• Dembo, Zeitouni - Large Deviations Techniques and Applications

Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie I-II