Nach positiver Absolvierung der Lehrveranstaltung sind Studierende in der Lage,

• die Definition eines stochastischen Prozesses wiederzugeben,
• verschiedene Typen von stochastischen Prozessen (Markov, stationär, Matingal, Gauss) zu definieren und zu erkennen,
• Filtrationen zu definieren,
• die Definition von Stoppzeiten zu zitieren und zu überptüfen,
• Übergangsfunktion und Homogenität eines Markovprozesses zu definieren,
• die Chapman-Kolmogorov Gleichungen anzugeben,
• Markovketten zu definieren,
• Übergangsmatrizen zu definieren und damit zu rechnen,
• Nachfolgerrelation und Kommunizieren zu definieren und zu überprüfen,
• Periode und Rekurrenzeigenschaften zu definieren und zu überprüfen,
• Absorptionswáhrscheinlichkeiten zu berechnen,
• Markovketten in stetiger Zeit zu definieren,
• die infinitesimalen Parameter einer Markovkette in stetiger Zeit zu definieren
• Konservativität einer Markovkette zu definieren
• die Kolmogorovschen Differentialgleichungen zu definieren und ihre Gültigkeit zu diskutieren,
• die eingebettete diskrete Markovkette zu definieren und zu bestimmen,
• Geburts- und Todesprozesse zu definieren und zu analysieren,
• Explosion und Regularität von Markovketten zu definieren und Kriterien dafür anzugeben,
• die Minimallösung zu definieren
• Pfadeigenschaften von allgemeinen Markovprozessen zu diskutieren,
• die Übergangsoperatoren eines Markovprozesses zu definieren und ihre Eigenschaften zu zitieren,
• die Resolvente zu definieren und ihre Eigenschaften zu zitieren,
• den infinitesimalen Operator zu definieren und zu berechnen,
• den Satz von Hille-Yosida zu zitieren,
• Maringale, Sub- und Supermartingale zu definieren,
• den Einfluss von Transformationen auf die Martingaleigenschaft zu diskutieren,
• das optional stopping theorem und das optional selection theorem zu zitieren und anzuwenden,
• die Maximalungleichungen von Doob zu zitieren und anzuwenden,
• den Martingal-Konvergenzsatz zu zitieren und anzuwenden,
• die Doob-Meyer Zerlegung zu definieren und ihre Existenz zu diskutieren,
• das Ito-Integral zu definieren
• die Ito-Formel zu definieren und anzuwenden
• stochastische Differentialgleichungen zu definieren
• den Existenz- und Eindeutigkeitssatz für stochastische Differentialgleichungen zu zitieren

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Kreide, Tafel, Stimme

Prüfung

Bauer, H.: Wahrscheinlichkeitstheorie Neveu, J.: Martingales à temps discret

Karatzas, I.; Shreve, St.E.: Brownian motion and stochastic calculus

Rogers, L.C.G.; Williams, D.: Diffusions, Markov processes and martingales

Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie sowie Analysis