Nach positiver Absolvierung der Lehrveranstaltung sind Studierende in der Lage...

• zu erklären, wie die Monte-Carlo Methoden funktionieren und welche mathematischen Theorien dahinter stehen,
• Monte-Carlo Methoden bei konkreten Problemstellungen in der Naturwissenschaft, in der Wirtschaft und in der Finanzindustrie anzuwenden.

Monte-Carlo Methoden sind Verfahren aus der Stochastik, bei denen eine sehr große Zahl gleichartiger Zufallsexperimente die Basis darstellt. Es wird dabei versucht, analytisch nicht lösbare oder analytisch nur aufwendig lösbare Probleme mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie numerisch zu lösen. [wikipedia]

Wir beschäftigen uns in der Lehrveranstaltung mit den folgenden Themen:

• Zufallsvariablen generieren
• Konvergenz, Fehlerabschätzungen, (Gesetz der großen Zahlen, Zentraler Grenzwertsatz, Konzentrationsungleichung)
• Varianzreduktion
• Basisresultate über Brownsche Bewegung, stochastisches Integral bezüglich Brownscher Bewegung, Itô-Formel
• Basisresultate über die Existenz, Eindeutigkeit und Stabilität der stochastischen Differentialgleichungen und die Eigenschaft der Lösungen
• Sätze von Feynman-Kac, Verbindung zwischen stochastischen und partiellen Differentialgleichungen
• Numerik von stochastischen Differentialgleichungen: Euler-Maruyama Verfahren, Milstein Verfahren, Schemen von höheren Ordnungen, Multi-level Monte-Carlo
• Statistische Fehler in der Simulation von stochastischen Differentialgleichungen
• Simulation von nicht-linearen Prozesse, Rückwärts-stochastische-Differentialgleichungen, nicht-lineare Version der Sätze von Feynman-Kac
• McKean-Vlasov stochastische Differentialgleichungen und Simulation
• stochastische Optimierung
• Markov Kette Monte-Carlo

• Vortrag online via ZOOM (oder Präsenzunterricht falls erlaubt)
• Diskussion und Besprechung von Übungsbeispielen

Grundsätzlich ist die VU für Master-Studierende vorgesehen, es sind aber auch fortgeschrittene Bachelor-Studierende willkommen.
Da das Thema der Lehrveranstaltung sehr fachübergreifend ist und für alle Mathematik-Studien geplant ist, wird der Vortragende zu Beginn der Vorlesung die notwendigen Resultate (aus der Analysis, der Maßtheorie, der Theorie der stochastischen Prozesse und der Numerik) wiederholen und zusammenfassen.

Aktive Mitarbeit in der Lehrveranstaltung, Übungsaufgaben.
Verbesserung der Note durch eine mündliche Prüfung möglich.

• Notwendig: Basislehrveranstaltungen der ersten vier Semester des Bachelorstudiums, vor allem Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik, sowie Differentialgleichungen
• Von Vorteil: Basiswissen aus stochastischen Prozessen, stochastischer Analysis, Numerik, und partielle Differentialgleichungen