Nach positiver Absolvierung der Lehrveranstaltung sind Studierende in der Lage, die Existenz konvexer Lösungen zu einer wichtigen Klasse geometrischer Krümmungsprobleme wie z.B. den Christoffel-Minkowski-Problemen, den Weingarten-Problemen und deren Verallgemeinerungen zu beweisen.
Das Minkowski-Problem besteht darin, einen konvexen Körper aus dem Oberflächenmaß zu rekonstruieren. Dessen Lösung ist bemerkenswert: ein Borel-Maß \mu auf der Einheitssphäre ist das Oberflächenmaß eines konvexen Körpers genau dann wenn der Zentroid von \mu im Koordinatenursprung liegt und das Borel-Maß nicht auf einer total geodätischen Untersphäre liegt. Der Kurs vermittelt die modernsten Argumente zur Lösung dieses Problems rigoros, die auch für Verallgemeinerungen des Minkowski-Problems gelten. Der Fokus wird auf glatten Lösungen liegen, für die mittels des Maximumprinzips a priori Abschätzungen hergeleitet werden (in einigen Fällen, z.B. im Minkowski-Problem, einfache Approximationsargumente liefern dann auch den Fall der Borel-Maße). Der Kurs soll in sich geschlossen sein und die wichtigsten Techniken behandeln, wie z.B. einen Viskositätsansatz zum "Constant Rank Theorem" (der die Frage der Konvexität beantwortet), eine Iterationsmethode sowie Flußansätze.
Mathematische Definitionen und Beweise.
Vorbesprechung via Zoom:
Date: October 7, 3pm
Link: https://tuwien.zoom.us/j/99583673042?pwd=YWtuellYQms1YVRzSUNLQTNtcWx5QT09
Meeting id: 995 8367 3042
Pass: c1pL65Qw
Mündliche Prüfung
Nicht erforderlich
Differential Geomerty
