Nach positiver Absolvierung der Lehrveranstaltung sind Studierende in der Lage

• den Invariantenring einer Darstellung einer Gruppe zu definieren, und in einfachen Fällen zu berechnen
• zu zeigen, dass der Invariantenring einer halbeinfachen Darstellung endlich erzeugt ist
• den ersten Fundamentalsatz der Invariantentheorie für die allgemeine lineare Gruppe zu beweisen
• die Äquivalenz der multilinearen Formulierung des ersten Fundamentalsatzes mittels Polarisierung und Restitution zur polynomialen Formulierung zu zeigen
• die klassische Schur-Weyl Dualität zwischen der allgemeinen linearen und der symmetrischen Gruppe zu beweisen

Sei W ein (endlichdimensionaler, komplexer) Vektorraum.  Eine Funktion f von W in die komplexen Zahlen ist polynomial, wenn sie ein Polynom in den Koordinaten bezüglich irgendeiner Basis von W ist.

Sei G eine Gruppe, zB. die spezielle lineare Gruppe SL(n) der n x n Matrizen mit Determinante 1, und W ein G-Modul.  Beispielsweise könnte G auf dem n-dimensionalen komplexen Vektorraum W durch die übliche Matrizenmultiplikation wirken.  Eine polynomiale Funktion f ist invariant, wenn f(g w) = f(w) für alle Gruppenelemente g und alle Vektoren w gilt.

Auf den Spuren von Hermann Weyl bestimmen wir in dieser Vorlesung also die invarianten Funktionen für einige klassische Gruppen.

Tafelvortrag (via Zoom) unterbrochen durch kurze Übungsaufgaben.

Die Vorbesprechung findet am Freitag, 5. März um 10:30 Uhr via Zoom statt.

Prüfung

Lineare Algebra