Nach positiver Absolvierung der Lehrveranstaltung sind Studierende in der Lage, den praktischen Wert von Methoden zur Umkehrung verschiedener Integraltransformationen einzuschätzen und solche Methoden zu beschreiben. Sie sind in der Lage, Anwendern mit Ingenieurausbildung theoretische Sachverhalte nahezubringen und Beispiele dafür anzugeben, dass die ‘reine Mathematik' oft Resultate hervorbringt, die erst Jahrzehnte später interessante Anwendungen finden.
Vorgestellt und diskutiert wird eine Reihe umkehrbarer Integraltransformationen, die zur Grundlage wichtiger Anwendungen geworden sind, darunter die klassische von Radon 1917 eingeführte zweidimensionale Transformation, auf die sich in den 1970er Jahren die Pionierarbeiten für die erste Generation von Parallelstrahl-Computertomographen stützten (Nobelpreis 1979). Neuerdings hat die Radontransformation eine interessante Anwendung zur automatisierten Sichtkontrolle von Oberflächenstrukturen gefunden. Man kennt heute weitreichende mehrdimensionale Verallgemeinerungen, insbesondere Umkehrformeln, die auf Rieszpotentialen beruhen. Ab den 1990er Jahren wurde die Fächertomographie entwickelt, die mit Zentralprojektionen arbeitet, was die Entwicklung einer Theorie und von Algorithmen für die Rücktransformation erforderte. Der eigentliche Durchbruch wurde 2002 in einer tiefsinnigen und vielzitierten Arbeit von A. Katsevics erzielt, der eine theoretisch exakte Inversionsformel und einen effektiven Algorithmus zur Rücktransformation angab. Von ganz anderer Art ist die berühmte 1960 von A. Calderón gefundene Integralidentität aus der Funktionalanalysis, die zwei Jahrzehnte später von theoretischen Physikern wiederentdeckt wurde und sich als fundamental für die Wavelettheorie erwiesen hat.. Bei allen Resultaten ist die Fouriertransformation ein zentrales Beweishilfsmittel. Im Laufe der Vorlesung wird besprochen, welche Teile (speziell Beweise) prüfungsrelevant sind.
Es werden Arbeitsblätter ausgegeben, die am Ende ein Vollskript ergeben. Alle Resultate werden durch Maple-Graphiken veranschaulicht. Aufwändigere Herleitungen lassen sich durch Maple-Programme nachvollziehen. Der Vortrag hebt routinemäßig Idee und Struktur von Beweisen hervor und geht auf ad-hoc-Fragen ein. Auf Wunsch kann das Skript auch in englischer Sprache bereitgestellt werden (z.B. für Erasmus-Studierende).
Mündliche Prüfung
Nicht erforderlich
Mathematische Grundausbildung (1. Studienabschnitt)
