102.459 AKANW.Math.Meth.i.d.Ingenieurwissensch.
Diese Lehrveranstaltung ist in allen zugeordneten Curricula Teil der STEOP.
Diese Lehrveranstaltung ist in mindestens einem zugeordneten Curriculum Teil der STEOP.

2020S, VO, 2.0h, 3.0EC

Merkmale

  • Semesterwochenstunden: 2.0
  • ECTS: 3.0
  • Typ: VO Vorlesung

Lernergebnisse

Nach positiver Absolvierung der Lehrveranstaltung sind Studierende in der Lage, den praktischen Wert von Methoden zur Umkehrung verschiedener Integraltransformationen einzuschätzen. Gefördert werden soll auch die Fähigkeit, Anwendern mit Ingenieurausbildung theoretische Sachverhalte nahezubringen. Absolventen sollten davon berichten können, dass die ‘reine‘ Mathematik oft Resultate hervorbringt, die erst Jahrzehnte später interessante Anwendungen finden, wofür in der Vorlesung überzeugende Beispiele gebracht werden.

Inhalt der Lehrveranstaltung

Vorgestellt und diskutiert wird eine Reihe umkehrbarer Integraltransformationen, die zur Grundlage wichtiger Anwendungen geworden sind, darunter die klassische von Radon 1917 eingeführte zweidimensionale Transformation, auf die sich in den 1970er Jahren die Pionierarbeiten für die erste Generation von Parallelstrahl-Computertomographen stützten (Nobelpreis 1979). Neuerdings hat die Radontransformation eine interessante Anwendung zur automatisierten Sichtkontrolle von Oberflächenstrukturen gefunden. Man kennt heute weitreichende mehrdimensionale Verallgemeinerungen, insbesondere Umkehrformeln, die auf Rieszpotentialen beruhen. Ab den 1990er Jahren wurde die Fächer­tomographie entwickelt, die mit Zentralprojektionen arbeitet, was die Entwicklung einer Theorie und von Algorithmen für die Rücktransformation erforderte. Der eigentliche Durchbruch wurde 2002 in einer tiefsinnigen und vielzitierten Arbeit von A. Katsevics erzielt, der eine theoretisch exakte Inversionsformel und einen effektiven Algorithmus zur Rücktransformation angab. Von ganz anderer Art ist die berühmte 1960 von A. Calderón gefundene Integralidentität aus der Funktionalanalysis, die zwei Jahrzehnte später von theoretischen Physikern wiederentdeckt wurde und sich als fundamental für die Wavelettheorie erwiesen hat.. Bei allen Resultaten ist die Fouriertransformation ein zentrales Beweishilfsmittel.

Methoden

Es werden Arbeitsblätter ausgegeben, die am Ende zu einem Vollskript zusammenwachsen. Alle Resultate werden durch Maple-Graphiken veranschaulicht. Aufwändigere Herleitungen lassen sich durch Maple-Programme nach­vollziehen. Der Vortrag hebt routinemäßig Idee und Struktur von Beweisen hervor und geht auf ad-hoc-Fragen ein. Auf Wunsch steht das Skript auch in englischer Sprache zur Verfügung (z.B. für Erasmus-Studierende).

Prüfungsmodus

Mündlich

Vortragende

Institut

Leistungsnachweis

Mündliche Prüfung

LVA-Anmeldung

Nicht erforderlich

Curricula

StudienkennzahlSemesterAnm.Bed.Info
860 GW Gebundene Wahlfächer - Technische Mathematik

Literatur

Es werden Arbeitsblätter ausgegeben.

Vorkenntnisse

Mathematische Grundausbildung (1. Studienabschnitt)

Weitere Informationen

Sprache

Deutsch