Nach positiver Absolvierung der Lehrveranstaltung sind Studierende in der Lage, sich in ein aktuelles Forschungsthema aus dem Bereich der Analysis oder numerischen Analysis selbstständig einzuarbeiten, sowie dieses in einem Tafelvortrag zu präsentieren.
zahlreiche mathematische Differentialgleichungen haengen von Parametern ab. Eine Besonderheit, die oft auftritt ist, dass ihre Loesung hat eine Mehrskaleneigenschaften hat, wobei die Skalenlaenge von den Parametern abhaengt. Ein klassisches Beispiel bei gewoehnlichen Differentialgleichungen ist die "van der Pol-Gleichung", bei der die Loesung auf der einen Zeitskala ein (annaehernd) periodischesVerhalten zeigt, sich die Amplitude jedoch auf einer viel laengeren Zeitskala veraendert. Ein weiteres Beispiel sind elliptische Gleichungen, bei denendie Koeffizienten periodisch variieren. Dies tritt z.B. beim Modellieren von Medien mit periodischen Einschluessen oder faserverstaerkten Materialienauf. Auch hier zeigt die Loesung Mehrskalenverhalten, wobei die kleine Skaladurch die Periodenlaenge in den Koeffizienten gegeben ist. Fragestellungen bei solchen Gleichungen sind:1) kann man die Skalenlaenge (abhaengig von den Parametern) erkennen?2) kann man "effektive" Gleichungen angeben, die das Verhalten der Loesung auf der entsprechenden Skala beschreiben? Im Fall der van-der-Polgleichung also z.B. eine Gleichung fuer die Aenderung der Amplitude bzw. die genaue Struktur des periodischen Anteils? 3) Wie gross ist die Differenz zwischen der exakten Loesung der Gleichung und der Loesung der effektiven Gleichung? In welchem Sinn wuerde die exakte Loesung gegen die Loesung der effektiven Gleichung konvergieren? 4) wie kann das Wissen um das Verhalten der Loesung fuer die Entwicklung von numerischen Verfahren ausgenutzt werden? S. Strogatz Nonlinear Dynamics and Chaos(Chap. 7.5, 7.6) Doina Cioranescu and Patrizia Donato, An Introduction to Homogenization: Oxford University Press
Betreute Erarbeitung eines ausgewählten Themas mit Hilfe englischsprachiger Fachliteratur (Bücher, wissenschaftliche Arbeiten), Präsentationen der Studierenden mit Feedback, Betreuung beim wissenschaftliches Schreiben in Latex.
Die Note ergibt sich aus der Praesentation.
Nicht erforderlich
Funktionalanalysis, Differentialgleichungen, partielle Differentialgleichungen, Numerik