Nach positiver Absolvierung der Lehrveranstaltung sind Studierende in der Lage Operatorgleichungen mit nichtlokalen Operatoren analytisch und numerisch zu verstehen.

Speziell werden hierbei der Umgang mit Integralgleichungen und fraktionelle Laplace-Operatoren erlernt.

In dieser Lehrveranstaltung beschäftigen wir uns mir nicht-lokalen Operatoren. Klassische Beispiele hierzu sind Integraloperatoren mit singulärem Kern, die bei Umformulierungen von partiellen Differentialgleichungen als Integralgleichungen auftreten. Wir werden einerseits analytische EIgenschaften derartige Operatoren untersuchen (z.B. Abbildungseigenschaften in Sobolev-Räumen) sowie numerische Verfahren und deren Vor- und Nachteile für derartige Gleichungen (Randelementmethode) betrachten.

Als zweites Modellbeispiel eines nicht-lokalen Operators betrachten wir den fraktionellen Laplace-Operator. Fraktionelle Laplace-Operatoren (also nicht ganzzahlige Potenzen des Laplace-Operators) treten oftmals in physikalischen, biologischen oder Finanz-Modellen bei anomalen Diffusionsprozessen auf. Mathematisch ist die formale Definition eines fraktionellen Laplace-Operators auf beschränkten Gebieten in vielfältiger Art möglich, die allerdings nicht allesamt äquivalent sind. Wir werden primär zwei Definitionen untersuchen (spektrale und Integraloperator Definition) und numerische Verfahren für diese vorstellen.

Tafelvortrag

Mündliche Prüfung, Terminvereinbarung per E-Mail

Ein Skriptum wird parallel zur Vorlesung erstellt.