After successful completion of the course, students are able to  become acquainted with an active research topic in  analysis or numerical analysis. Students are able to study existing literature, to give a presentation and to summarize the topic in a seminar paper.

zahlreiche mathematische Differentialgleichungen haengen von
Parametern ab. Eine Besonderheit, die oft auftritt ist, dass ihre
Loesung hat eine Mehrskaleneigenschaften hat, wobei die Skalenlaenge
von den Parametern abhaengt. Ein klassisches Beispiel bei
gewoehnlichen Differentialgleichungen ist die "van der Pol-Gleichung",
bei der die Loesung auf der einen Zeitskala ein (annaehernd) periodisches
Verhalten zeigt, sich die Amplitude jedoch auf einer viel laengeren Zeitskala
veraendert. Ein weiteres Beispiel sind elliptische Gleichungen, bei denen
die Koeffizienten periodisch variieren. Dies tritt z.B. beim Modellieren
von Medien mit periodischen Einschluessen oder faserverstaerkten Materialien
auf. Auch hier zeigt die Loesung Mehrskalenverhalten, wobei die kleine Skala
durch die Periodenlaenge in den Koeffizienten gegeben ist.

Fragestellungen bei solchen Gleichungen sind:
1) kann man die Skalenlaenge (abhaengig von den Parametern) erkennen?
2) kann man "effektive" Gleichungen angeben, die das Verhalten der Loesung
   auf der entsprechenden Skala beschreiben? Im Fall der van-der-Polgleichung
   also z.B. eine Gleichung fuer die Aenderung der Amplitude bzw. die genaue
   Struktur des periodischen Anteils? Die Bestimmung der effektiven Gleichung wird oft als "Homogenisierung" bezeichnet.
3) Wie gross ist die Differenz zwischen der exakten Loesung der Gleichung
   und der Loesung der effektiven Gleichung? In welchem Sinn wuerde die
   exakte Loesung gegen die Loesung der effektiven Gleichung konvergieren?
4) wie kann das Wissen um das Verhalten der Loesung fuer die Entwicklung von
   numerischen Verfahren ausgenutzt werden?


S. Strogatz
Nonlinear Dynamics and Chaos
(Chap. 7.5, 7.6)

Doina Cioranescu and Patrizia Donato,
An Introduction to Homogenization
Oxford University Press

Supervised discussion of a selected topic  with the help of mathematical literature (books, scientific papers), presentation by students with feedback, supervision for scientific writing in Latex.

The grade consists of the presentation and the written seminar paper in approximately equal parts,

functional analysis 1, differential equations, numerical mathematics